Nontrivial Everyday 자명한 날은 단 하루도 없다

245월/12Off

123456789 * 9 + 10 = 1111111111

인터넷을 돌다 보면 '신기한 수학의 세계' 등의 이름으로 유포되는 수식을 포함한 이미지를 볼 수 있는데, 그 이미지에서 볼 수 있는 수식은 다음과 같다.

  \phantom{00000000}1 \times 9 + \phantom{0}2 = 11 \\  \phantom{0000000}12 \times 9 + \phantom{0}3 = 111 \\  \phantom{000000}123 \times 9 + \phantom{0}4 = 1111 \\  \phantom{00000}1234 \times 9 + \phantom{0}5 = 11111 \\  \phantom{0000}12345 \times 9 + \phantom{0}6 = 111111 \\  \phantom{000}123456 \times 9 + \phantom{0}7 = 1111111 \\  \phantom{00}1234567 \times 9 + \phantom{0}8 = 11111111 \\  \phantom{0}12345678 \times 9 + \phantom{0}9 = 111111111 \\  123456789 \times 9 + 10 = 1111111111

꽤 신기하게 보이기는 하다. 여기에 어떤 수학적 구조가 숨어있을까 조금 궁금해하다가도 별 실마리를 찾지 못했는데, 오늘 우연히 누군가 올린 이 수식들을 다시 보다 보니 너무나도 간단해서 좀 전까지의 내가 한심할 수준이었다. 자기가 짠 코드에서 버그를 발견하고 수정할 때의 프로그래머의 기분과 비슷.

총 아홉 개의 식이 있다. 일단 우변을 다르게 정렬해 보자.

  \phantom{00000000}1 \times 9 + \phantom{0}2 = \phantom{00000000}11 \\  \phantom{0000000}12 \times 9 + \phantom{0}3 = \phantom{0000000}111 \\  \phantom{000000}123 \times 9 + \phantom{0}4 = \phantom{000000}1111 \\  \phantom{00000}1234 \times 9 + \phantom{0}5 = \phantom{00000}11111 \\  \phantom{0000}12345 \times 9 + \phantom{0}6 = \phantom{0000}111111 \\  \phantom{000}123456 \times 9 + \phantom{0}7 = \phantom{000}1111111 \\  \phantom{00}1234567 \times 9 + \phantom{0}8 = \phantom{00}11111111 \\  \phantom{0}12345678 \times 9 + \phantom{0}9 = \phantom{0}111111111 \\  123456789 \times 9 + 10 = 1111111111

다음, 첫 번째 식은 그대로 가져오고, 아래 식에서 위 식을 빼 보자.

  \phantom{00000000}1 \times 9 + 2 = \phantom{00000000}11 \\  \phantom{0000000}11 \times 9 + 1 = \phantom{0000000}100 \\  \phantom{000000}111 \times 9 + 1 = \phantom{000000}1000 \\  \phantom{00000}1111 \times 9 + 1 = \phantom{00000}10000 \\  \phantom{0000}11111 \times 9 + 1 = \phantom{0000}100000 \\  \phantom{000}111111 \times 9 + 1 = \phantom{000}1000000 \\  \phantom{00}1111111 \times 9 + 1 = \phantom{00}10000000 \\  \phantom{0}11111111 \times 9 + 1 = \phantom{0}100000000 \\  111111111 \times 9 + 1 = 1000000000

아, 화장을 벗겨 내고나니 쌩얼이 거참 실망스러울수가... 수학적 '아름다움'을 추구하기 위해서 맨 위에 한 줄을 추가하고, 조금 일관적으로 만들어보자.

  \phantom{000000000}0 \cdot 9 + 1 = \phantom{000000000}1 \\  \phantom{00000000}1 \times 9 + 1 = \phantom{00000000}10 \\  \phantom{0000000}11 \times 9 + 1 = \phantom{0000000}100 \\  \phantom{000000}111 \times 9 + 1 = \phantom{000000}1000 \\  \phantom{00000}1111 \times 9 + 1 = \phantom{00000}10000 \\  \phantom{0000}11111 \times 9 + 1 = \phantom{0000}100000 \\  \phantom{000}111111 \times 9 + 1 = \phantom{000}1000000 \\  \phantom{00}1111111 \times 9 + 1 = \phantom{00}10000000 \\  \phantom{0}11111111 \times 9 + 1 = \phantom{0}100000000 \\  111111111 \times 9 + 1 = 1000000000

즉 원래 식의 n번째 수식은 위 수식군을 위에서부터 (n+1)번째 수식까지 더함으로써 얻어진다. (맨 위 식의 곱하기 표기가 다른 것들과 다른건 전체적인 균형을 위해서이다.)

한가지 더. 어떤 수학적 규칙들은 진법-independent하다.1 적어도 위 규칙은 그러한데, 그에 따라

 1 \times \mathrm{F} + 2 = 11 \\  12 \times \mathrm{F} + 3 = 111 \\  123 \times \mathrm{F} + 4 = 1111 \\  1234 \times \mathrm{F} + 5 = 11111 \\  12345 \times \mathrm{F} + 6 = 111111 \\  123456 \times \mathrm{F} + 7 = 1111111 \\  1234567 \times \mathrm{F} + 8 = 11111111 \\  12345678 \times \mathrm{F} + 9 = 111111111 \\  123456789 \times \mathrm{F} + \mathrm{A} = 1111111111 \\  \mathrm{123456789A} \times \mathrm{F} + \mathrm{B} = 11111111111 \\  \mathrm{123456789AB} \times \mathrm{F} + \mathrm{C} = 111111111111 \\  \mathrm{123456789ABC} \times \mathrm{F} + \mathrm{D} = 1111111111111 \\  \mathrm{123456789ABCD} \times \mathrm{F} + \mathrm{E} = 11111111111111 \\  \mathrm{123456789ABCDE} \times \mathrm{F} + \mathrm{F} = 111111111111111 \\  \mathrm{123456789ABCDEF} \times \mathrm{F} + 10 = 1111111111111111 \\

라는 수식이 16진법에서 성립한다. 물론 이는 임의의 n진법에 대해서도 할 수 있다.

  1. '모든' 이라고 말할수도, '모든은 아니'라고 말할 수도 없는 내 얕은 수학적 지식이 부끄럽다. []