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281월/13Off

해답편: 복소근을 가지지 않는 다항식 p(x)에 대해 (p'(x))^2 > p”(x)p(x)가 성립함을 보이기

어느 날 트위터에 이런 트윗이 올라왔습니다. 간단히 말해서, 실수근만을 갖는 다항식 p(x)에 대해서, p'(x)^2 \geq p(x)p''(x)가 모든 실수 x에 대해 성립한다는 명제였습니다. 간단히 증명해보도록 하겠습니다. 귀납법으로도 가능할 것 같지만, 저는 그냥 straightforward하게 증명해 보겠습니다.

임의의 다항식 p(x)를 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.
p(x) = \prod^n_{i=1} (x-a_i). 이 때 a_i는 다항식의 근이며 주어진 조건에 따라 모두 실수입니다. 모든 실수 x에 대해 p(x)는 실수임을 알 수 있습니다. p'(x)도 항상 실수겠죠.

이제 두 경우로 나눠 보겠습니다. p(x)=0일 때와 p(x) \neq 0일 때로요.

만약 p(x) = 0이라면, p'(x)^2 - p(x)p''(x) = p'(x)^2 \geq 0이 쉽게 성립함을 알 수 있습니다.

만약 p(x) \neq 0이라면, 우리는 p'(x), p''(x)를 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.
  p'(x) = \sum^n_{i=1}\prod_{j \neq i} (x-a_j) = \sum^n_{i=1} \frac{p(x)}{x-a_i} = p(x) \sum^n_{i=1} \frac{1}{x-a_i} \\  p''(x) = p(x) \sum^n_{i=1} \sum^n_{j \neq i} \frac{1}{(x-a_i)(x-a_j)}.

그러면 이제
  p'(x)^2 - p(x)p''(x) \\  = p(x)^2 \{ (\sum^n_{i=1} \frac{1}{x-a_i})^2 - \sum^n_{i=1} \sum^n_{j \neq i} \frac{1}{(x-a_i)(x-a_j)} \} \\  = p(x)^2 \sum^n_{i=1} \frac{1}{(x-a_i)^2}  \geq 0.
을 얻습니다. (p(x), (x-a_i)들이 모두 실수이기 때문에.) 증명 종료.