Nontrivial Everyday 자명한 날은 단 하루도 없다

281월/13Off

해답편: 복소근을 가지지 않는 다항식 p(x)에 대해 (p'(x))^2 > p”(x)p(x)가 성립함을 보이기

어느 날 트위터에 이런 트윗이 올라왔습니다. 간단히 말해서, 실수근만을 갖는 다항식 p(x)에 대해서, p'(x)^2 \geq p(x)p''(x)가 모든 실수 x에 대해 성립한다는 명제였습니다. 간단히 증명해보도록 하겠습니다. 귀납법으로도 가능할 것 같지만, 저는 그냥 straightforward하게 증명해 보겠습니다.

임의의 다항식 p(x)를 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.
p(x) = \prod^n_{i=1} (x-a_i). 이 때 a_i는 다항식의 근이며 주어진 조건에 따라 모두 실수입니다. 모든 실수 x에 대해 p(x)는 실수임을 알 수 있습니다. p'(x)도 항상 실수겠죠.

이제 두 경우로 나눠 보겠습니다. p(x)=0일 때와 p(x) \neq 0일 때로요.

만약 p(x) = 0이라면, p'(x)^2 - p(x)p''(x) = p'(x)^2 \geq 0이 쉽게 성립함을 알 수 있습니다.

만약 p(x) \neq 0이라면, 우리는 p'(x), p''(x)를 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.
  p'(x) = \sum^n_{i=1}\prod_{j \neq i} (x-a_j) = \sum^n_{i=1} \frac{p(x)}{x-a_i} = p(x) \sum^n_{i=1} \frac{1}{x-a_i} \\  p''(x) = p(x) \sum^n_{i=1} \sum^n_{j \neq i} \frac{1}{(x-a_i)(x-a_j)}.

그러면 이제
  p'(x)^2 - p(x)p''(x) \\  = p(x)^2 \{ (\sum^n_{i=1} \frac{1}{x-a_i})^2 - \sum^n_{i=1} \sum^n_{j \neq i} \frac{1}{(x-a_i)(x-a_j)} \} \\  = p(x)^2 \sum^n_{i=1} \frac{1}{(x-a_i)^2}  \geq 0.
을 얻습니다. (p(x), (x-a_i)들이 모두 실수이기 때문에.) 증명 종료.

245월/12Off

123456789 * 9 + 10 = 1111111111

인터넷을 돌다 보면 '신기한 수학의 세계' 등의 이름으로 유포되는 수식을 포함한 이미지를 볼 수 있는데, 그 이미지에서 볼 수 있는 수식은 다음과 같다.

  \phantom{00000000}1 \times 9 + \phantom{0}2 = 11 \\  \phantom{0000000}12 \times 9 + \phantom{0}3 = 111 \\  \phantom{000000}123 \times 9 + \phantom{0}4 = 1111 \\  \phantom{00000}1234 \times 9 + \phantom{0}5 = 11111 \\  \phantom{0000}12345 \times 9 + \phantom{0}6 = 111111 \\  \phantom{000}123456 \times 9 + \phantom{0}7 = 1111111 \\  \phantom{00}1234567 \times 9 + \phantom{0}8 = 11111111 \\  \phantom{0}12345678 \times 9 + \phantom{0}9 = 111111111 \\  123456789 \times 9 + 10 = 1111111111

꽤 신기하게 보이기는 하다. 여기에 어떤 수학적 구조가 숨어있을까 조금 궁금해하다가도 별 실마리를 찾지 못했는데, 오늘 우연히 누군가 올린 이 수식들을 다시 보다 보니 너무나도 간단해서 좀 전까지의 내가 한심할 수준이었다. 자기가 짠 코드에서 버그를 발견하고 수정할 때의 프로그래머의 기분과 비슷.

총 아홉 개의 식이 있다. 일단 우변을 다르게 정렬해 보자.

  \phantom{00000000}1 \times 9 + \phantom{0}2 = \phantom{00000000}11 \\  \phantom{0000000}12 \times 9 + \phantom{0}3 = \phantom{0000000}111 \\  \phantom{000000}123 \times 9 + \phantom{0}4 = \phantom{000000}1111 \\  \phantom{00000}1234 \times 9 + \phantom{0}5 = \phantom{00000}11111 \\  \phantom{0000}12345 \times 9 + \phantom{0}6 = \phantom{0000}111111 \\  \phantom{000}123456 \times 9 + \phantom{0}7 = \phantom{000}1111111 \\  \phantom{00}1234567 \times 9 + \phantom{0}8 = \phantom{00}11111111 \\  \phantom{0}12345678 \times 9 + \phantom{0}9 = \phantom{0}111111111 \\  123456789 \times 9 + 10 = 1111111111

다음, 첫 번째 식은 그대로 가져오고, 아래 식에서 위 식을 빼 보자.

  \phantom{00000000}1 \times 9 + 2 = \phantom{00000000}11 \\  \phantom{0000000}11 \times 9 + 1 = \phantom{0000000}100 \\  \phantom{000000}111 \times 9 + 1 = \phantom{000000}1000 \\  \phantom{00000}1111 \times 9 + 1 = \phantom{00000}10000 \\  \phantom{0000}11111 \times 9 + 1 = \phantom{0000}100000 \\  \phantom{000}111111 \times 9 + 1 = \phantom{000}1000000 \\  \phantom{00}1111111 \times 9 + 1 = \phantom{00}10000000 \\  \phantom{0}11111111 \times 9 + 1 = \phantom{0}100000000 \\  111111111 \times 9 + 1 = 1000000000

아, 화장을 벗겨 내고나니 쌩얼이 거참 실망스러울수가... 수학적 '아름다움'을 추구하기 위해서 맨 위에 한 줄을 추가하고, 조금 일관적으로 만들어보자.

  \phantom{000000000}0 \cdot 9 + 1 = \phantom{000000000}1 \\  \phantom{00000000}1 \times 9 + 1 = \phantom{00000000}10 \\  \phantom{0000000}11 \times 9 + 1 = \phantom{0000000}100 \\  \phantom{000000}111 \times 9 + 1 = \phantom{000000}1000 \\  \phantom{00000}1111 \times 9 + 1 = \phantom{00000}10000 \\  \phantom{0000}11111 \times 9 + 1 = \phantom{0000}100000 \\  \phantom{000}111111 \times 9 + 1 = \phantom{000}1000000 \\  \phantom{00}1111111 \times 9 + 1 = \phantom{00}10000000 \\  \phantom{0}11111111 \times 9 + 1 = \phantom{0}100000000 \\  111111111 \times 9 + 1 = 1000000000

즉 원래 식의 n번째 수식은 위 수식군을 위에서부터 (n+1)번째 수식까지 더함으로써 얻어진다. (맨 위 식의 곱하기 표기가 다른 것들과 다른건 전체적인 균형을 위해서이다.)

한가지 더. 어떤 수학적 규칙들은 진법-independent하다.1 적어도 위 규칙은 그러한데, 그에 따라

 1 \times \mathrm{F} + 2 = 11 \\  12 \times \mathrm{F} + 3 = 111 \\  123 \times \mathrm{F} + 4 = 1111 \\  1234 \times \mathrm{F} + 5 = 11111 \\  12345 \times \mathrm{F} + 6 = 111111 \\  123456 \times \mathrm{F} + 7 = 1111111 \\  1234567 \times \mathrm{F} + 8 = 11111111 \\  12345678 \times \mathrm{F} + 9 = 111111111 \\  123456789 \times \mathrm{F} + \mathrm{A} = 1111111111 \\  \mathrm{123456789A} \times \mathrm{F} + \mathrm{B} = 11111111111 \\  \mathrm{123456789AB} \times \mathrm{F} + \mathrm{C} = 111111111111 \\  \mathrm{123456789ABC} \times \mathrm{F} + \mathrm{D} = 1111111111111 \\  \mathrm{123456789ABCD} \times \mathrm{F} + \mathrm{E} = 11111111111111 \\  \mathrm{123456789ABCDE} \times \mathrm{F} + \mathrm{F} = 111111111111111 \\  \mathrm{123456789ABCDEF} \times \mathrm{F} + 10 = 1111111111111111 \\

라는 수식이 16진법에서 성립한다. 물론 이는 임의의 n진법에 대해서도 할 수 있다.

  1. '모든' 이라고 말할수도, '모든은 아니'라고 말할 수도 없는 내 얕은 수학적 지식이 부끄럽다. []
2812월/11Off

0 < 1/2

이 글이 올라온지도 꽤 되었고, 여기에 대해 생각한 것도 꽤 오래 되었지만, 더 질질 끌면 머리속에서 사라져버릴 것 같아 늦기 전에 포스팅한다.

"10개 사시면 10%할인해드립니다"는 마케팅이 있고 "10개 사시면 1개 더 드립니다"는 마케팅이 있다.

무엇이 이득일까? --- via @melotopia

원본 글에서는 99 < 100이라는 정말 당연한 부등식을 이용해 문제를 풀었지만, 여기서 한발짝 돌아가보자. 이 문제를 살짝 일반화시키면,

"n개 사면 가격의 1/n을 깎아드립니다"와 "n개 사면 1개 더 드립니다." 중 어떤 게 소비자에게 이익인가?

라는 문제로 바꿀 수 있다.

여기서 n이 상식적(n > 0)인 범위 안에 있다면, 이 범위 안에서 에서 답은 변할 것 같지 않다. ………①

n에 1을 대입하면, 1개를 0개 가격에 주는 것과, 2개를 1개 가격에 주는 결과가 나오고,

0/1 = 0 < 1/2이므로, n개 사면 가격의 1/n을 깎아주는 편이 더 싸다고 할 수 있다. 같은 결론을 얻는다. 문제는, 생각할 때는 자연스러웠지만, ①이 그렇게까지 자명한 것 같지는 않다는 거다. 그걸 보이기 위해서는 다음과 같은 전개가 필요하다. [latex]n[/latex]을 구입 갯수라 하면 [latex]n[/latex]개를 구입했을때 양 기준에 따른 개당 구입가는 각각 [latex]\frac{n-1}{n}, \frac{n}{n+1}[/latex]이 된다. 판단 함수 [latex] f(n) = \frac{n-1}{n} - \frac{n}{n+1} [/latex]이라고 하자. f(n) > 0이면 후자가 더 이득이고, f(n) < 0이면 전자가 이득이다. f(n) = 0이면 뭘 사든 상관없다. 이제 임의의 양수 n, m에 대하여 [latex] f(n)f(m) = (\frac{n-1}{n} - \frac{n}{n+1}) (\frac{m-1}{m} - \frac{m}{m+1}) = \frac{1}{n(n+1)m(m+1)} > 0 [/latex]

이므로 임의의 양수 n, m에 대해 f(n), f(m)의 부호는 같다고 할 수 있다. 따라서 증명을 마칠 수 있다. \blacksquare

그러나 사실 임의의 양수 n에 대해 f(n) = \frac{-1}{n(n+1)} < 0[/latex]이므로 위 증명은 정말 빙빙 돌아갔다고 할 수 있다.

2811월/10Off

Trivial Proofs : 모든 유리수는 유한소수로 나타낼 수 있다

제목이 좀 낚시지만

Theorem. For every nonzero r \in \mathbb{Q}, there exist n \in \mathbb{N} such that r is represented finite in n-numeral system.

Proof : Let r = \frac{a}{b} where a and b are relatively prime, then b is the base what we are looking for. If you are heavily bored, you can use any m \in \mathbb{N} such that b | m^k for some integer k.

써놓고도 쪽팔린다-_-;

98월/10Off

어떤 조건에서 지수함수의 그래프와 로그함수의 그래프가 만나는가?

수학 블로그들이 오늘 P=NP 문제에 대한 새로운 도전 때문에 들떠있습니다. 8월 6일 발표된 이 논문은 '수학의 많은 분야에 걸치는' 지식을 사용해 P≠NP임을 보였다고 몇몇 블로그에서 소개하고 있습니다. 전 논문을 이해할 수 있을 것 같지는 않고(-_-;) 대충 읽어본 결과 확률론쪽의 개념에서부터 그래프 이론, 그리고 당연히(?) 계산 이론을 포함하고 있는 것 같습니다. LFP(Least Fixed Point)라는 녀석이 증명에서 중요한 위치를 차지하고 있는 것처럼 보입니다만... 이 이상의 내용을 설명하기는 힘든 것 같습니다.

수학과 학생으로서 4년차를 맞이한 지금, 안타깝게도 저는 수학을 잘 모릅니다. 그냥 인터넷에서 많은 분들이 수학 블로깅을 하시길래 나도 한번 해볼까... 하는 마음에 워드프레스를 설치하고 TeX 플러그인을 설치하기는 했는데, 할만한 건덕지가 있어야 말이지요. 그래서 제가 고등학교때 기억에 남는 문제풀이를 하나 해보려 합니다.

어떤 조건에서 y=a^xy=log_a x의 그래프가 만나는가?

뭐 고등학교 2학년이나 3학년쯤 되었을 겁니다. 교과서에서는 지수함수와 로그함수를 보여줄때 역함수같은 관계를 보여주며, y=x에 대해 대칭인 두 그래프를 보여주곤 했습니다. 지수함수와 로그함수는 둘 다 무한으로 발산하기는 하지만(지수/밑 a가 1보다 큰 경우), 아시다시피 지수함수는 어떤 유한항 다항함수보다도 빠르게 발산하고, 로그함수는 어떤 다항함수보다도 느리게 발산하죠. 그래프만 봐도 지수함수가 로그함수보다 훨씬 커 보이죠. 그런데 과연 항상 지수함수가 로그함수보다 클까요? 지수/밑 a를 잘 고르면 일시적으로 로그함수가 더 크게 만들수도 있지 않을까요? 이게 제 문제의 시작입니다.

물론 지수가 1보다 작은 경우는 trivial했기 때문에, 지수가 1보다 크거나 같은 영역을 찾아봐야 했습니다. 만약 a=1이라면, 지수함수의 그래프는 y=1의 그래프가 되었을 것이고, 이에 해당하는 로그함수는 존재하지 않지만 대칭성으로부터 생각해 그 그래프는 x=1이 되었을 것입니다. 이 경우에도 만나는 걸 알 수 있지만 별로 재미가 없으니, 지수가 1보다 큰 영역을 찾아보기로 했습니다.

우리는 적어도, a=2에서 두 그래프가 만나지 않는다는 것을 알고 있습니다. 뭐 단순히 생각해 본다면 만약 y=a^xy=log_a x가 만난다면 a<2[/latex]일 것입니다([latex]a>=2일때는 만나지 않으므로). 지수함수와 로그함수의 그래프가 두 점에서 만나는 순간이 있다면, 한 점에서 '접하는' 순간이 있을 것입니다. 그래프를 두고 머릿속에서 a를 이리저리 왔다갔다 하다 보면... 1